Orientierung
Was brauchst du als Basiswissen?
Du kennst Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz bereits vom Rechnen mit gewöhnlichen Zahlen.
Worum geht es?
Auch für UND und ODER darf man vertauschen, Klammern verschieben und ausmultiplizieren. Vieles sieht vertraut aus. Es gibt aber auch eine überraschende zweite Form des Distributivgesetzes.
Was ist das Ziel?
Du kannst bekannte Rechengesetze auf Boolesche Ausdrücke übertragen und ihre Gültigkeit durch Wahrheitstabellen untersuchen.
Erarbeitung
Theoretische Einführung: Kommutativgesetz
Checkliste (für die KI oder den Lehrer)
- Vorwissen mit 3+5=5+3 und 3·5=5·3 aktivieren
- Begriff "kommutativ" mit "vertauschen" verbinden
- Gegenüberstellung an der Tafel: 3+5=5+3 a∨b=b∨a 3·5=5·3 a∧b=b∧a
- Alltagssätze in beiden Reihenfolgen sprechen
- Durch Wahrheitstabelle prüfen: Beide Ergebnisspalten sind gleich
- Ausblick: Auch Klammern und Verteilen werden untersucht
Aufgabe: Kommutativgesetz
Aufgabe 1
Gilt das Kommutativgesetz auch für UND? Prüfe a ∧ b = b ∧ a mit einer Wahrheitstabelle.
Aufgabe 2
Vertausche die Teile: x ∧ y, a ∨ c, ¬a ∧ b.
Aufgabe 3
Welche Teile dürfen bei (a ∧ b) ∨ c miteinander vertauscht werden, ohne vorher die Klammer zu verändern?
Aufgabe: Assoziativgesetz entdecken
Aufgabe 4
Gilt (a ∨ b) ∨ c und a ∨ (b ∨ c)?
Aufgabe 5
Gilt (a ^ b) ^ c und a ^ (b ^ c)?
Aufgabe: Distributivgesetz
Aufgabe 6
Gilt a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)?
Aufgabe 7
Gilt: a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Aufgabe 8
Forme x ∧ (y ∨ z) mithilfe des Musters um.
Aufgabe 9
Forme (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) in die kürzere Form um.
Aufgabe: Welches Gesetz?
Nenne das verwendete Gesetz und ergänze die Lücke.
Aufgabe 10
a ∧ b = b ∧ ...
Aufgabe 11
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (... ∨ ...)
Aufgabe 12
a ∧ (b ∨ c) = (... ∧ ...) ∨ (... ∧ ...)
Aufgabe 13
x ∨ (y ∧ z) = (... ∨ ...) ∧ (... ∨ ...)
Aufgabe: Ausdrücke vergleichen
Prüfe die folgenden Paare mit dem Applet. Sage zuerst voraus, ob die Ausdrücke gleichwertig sind.
Aufgabe 14
a ∨ b und b ∨ a
Aufgabe 15
(a ∧ b) ∧ c und a ∧ (b ∧ c)
Aufgabe 16
a ∧ (b ∨ c) und (a ∧ b) ∨ c
Aufgabe 17
a ∨ (b ∧ c) und (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Rückblick und Ausblick
Was muss man wissen und können?
- Kommutativ bedeutet vertauschen.
- Assoziativ bedeutet Klammern innerhalb derselben Verknüpfung anders zu setzen.
- Distributiv bedeutet verteilen oder ausklammern.
- In der Booleschen Algebra gibt es zwei Distributivgesetze.
Was folgt als Nächstes?
Nun kommen Gesetze, die keine direkte Entsprechung beim normalen Rechnen mit Zahlen haben.