02 Grundgesetze der Booleschen Algebra

Orientierung

Worum geht es?

Manche Teile eines Booleschen Ausdrucks ändern das Ergebnis nicht. Andere legen es sofort fest. Gesetze beschreiben diese Fälle kurz und helfen beim Vereinfachen.

Was ist das Ziel?

Du kennst Neutralität, Dominanz, Idempotenz, Komplement und doppelte Negation. Du kannst damit erste Ausdrücke vereinfachen.

Erarbeitung

Theoretische Einführung

Checkliste (für die KI oder den Lehrer)

  • Gesetze zunächst mit den zwei Fällen a=0 und a=1 untersuchen
  • Gleichheitszeichen als "für jede Belegung gleich" erläutern
  • Neutralität: Verknüpfung verändert a nicht
  • Dominanz: ein Wert bestimmt das Ergebnis vollständig
  • Idempotenz: Wiederholung derselben Aussage bringt nichts Neues
  • Komplement: a und ¬a können nicht zugleich wahr sein; eine der beiden Aussagen ist immer wahr
  • Doppelte Negation sprachlich erklären
  • Wahrheitstabellen als Begründung und Kontrolle verwenden

Aufgaben

Tabelle
Aufgabe 1
Die Gesetze hast du schon gesehen, einige Lösungen kennst du auch schon. Fülle nun die Tabelle aus.
Aufgabe 2
Was ist ¬(¬a) (doppelte Negation)?

Beispiel:

(a ∧ 1) ∨ 0 = a ∨ 0 = a

Ergänze die fehlende rechte Seite. Begründe jedes Ergebnis in einem kurzen Satz.

Aufgabe 3
b ∧ 1 = ...
Aufgabe 4
c ∨ 1 = ...
Aufgabe 5
a ∧ a = ...
Aufgabe 6
b ∨ ¬b = ...
Aufgabe 7
¬(¬c) = ...
Aufgabe 8
a ∧ 0 = ...

Aufgabe: Gesetze benennen

Ordne Neutralität, Dominanz, Idempotenz, Komplement oder doppelte Negation zu.

Aufgabe 9
x ∨ x = x
Aufgabe 10
y ∧ ¬y = 0
Aufgabe 11
x ∨ 0 = x
Aufgabe 12
¬(¬y) = y
Aufgabe 13
x ∨ 1 = 1

Aufgabe: Mit Wahrheitstabellen prüfen

Aufgabe 14
Zeige mit einer Wahrheitstabelle, dass a ∧ 1 und a immer denselben Wert haben. Erstelle dazu die Spalten a und a ∧ 1.

Prüfe auf dieselbe Weise eines der folgenden Gesetze:

Aufgabe 15
a ∨ a = a
Aufgabe 16
a ∧ ¬a = 0
Aufgabe 17
¬(¬a) = a

Aufgabe: Schrittweise vereinfachen

Vereinfache so weit wie möglich. Schreibe hinter jeden Schritt das verwendete Gesetz.

Aufgabe 18
(a ∨ 0) ∧ 1
Aufgabe 19
(b ∧ b) ∨ 0
Aufgabe 20
(c ∨ ¬c) ∧ a
Aufgabe 21
¬(¬b) ∨ 0
Aufgabe 22
(a ∧ 0) ∨ (b ∧ 1)
Aufgabe 23
(a ∨ 1) ∧ (b ∨ b)

Aufgabe: Fehler finden

Ein Schüler schreibt: a ∧ 0 = a, denn die 0 sei neutral.

Aufgabe 24
Widerlege dies mit a=1.
Aufgabe 25
Gib das richtige Gesetz an.
Aufgabe 26
Erkläre den Unterschied zwischen a ∧ 0 und a ∨ 0.

Rückblick und Ausblick

Was muss man wissen und können?

  • Gesetze gelten für jede mögliche Belegung der Variablen.
  • Grundgesetze können Teile eines Ausdrucks sofort ersetzen.
  • Wahrheitstabellen zeigen, ob zwei Ausdrücke gleichwertig sind.

Was folgt als Nächstes?

Einige Rechengesetze kennst du bereits von gewöhnlichen Zahlen. Wir untersuchen, wie sie in der Booleschen Algebra aussehen.