04 Komplexe Wurzeln und Einheitswurzeln

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du kannst Potenzen komplexer Zahlen in Polarform berechnen.

Worum geht es?

Gesucht sind alle Zahlen z, deren n-te Potenz eine vorgegebene Zahl ergibt. Anders als bei einer einzelnen reellen Wurzel gibt es dabei mehrere komplexe Lösungen.

Was ist das Ziel?

Du bestimmst einfache komplexe Wurzeln, erklärst die Anzahl der Lösungen und erkennst regelmäßige Vielecke auf dem Einheitskreis.

Erarbeitung

Theorie

Aufgaben

Achtung, obiges Applet dient der Kontrolle der Einheitswurzeln. Nicht alle Aufgaben betreffen Einheitswurzeln!

Aufgabe 1
Bestimme alle Lösungen von z² = 1 und markiere sie im Applet.
Aufgabe 2
Bestimme alle Lösungen von z⁴ = 1 und beschreibe die Figur.
Aufgabe 3
Erzeuge die dritten, fünften und sechsten Einheitswurzeln. Vergleiche Anzahl und Abstand der Punkte.
Aufgabe 4
Bestimme alle Lösungen von z³ = 8 in Polarform und prüfe eine davon durch Potenzieren.
Aufgabe 5
Löse z² = i mithilfe der Winkel und gib beide Lösungen in Polarform an.
Aufgabe 6
Erkläre, warum bei z^5 = 1 genau fünf verschiedene Lösungen entstehen, obwohl 0°, 360° und 720° dieselbe Richtung besitzen.
Aufgabe 7
Formuliere ein Verfahren, mit dem alle Lösungen von z^n = w gefunden werden können.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

Für z^n = w wird der Betrag durch Ziehen der n-ten Wurzel und der Winkel durch Teilen durch n bestimmt. Zusätzliche volle Umdrehungen liefern n verschiedene Lösungen. Die Lösungen von z^n = 1 bilden ein regelmäßiges n-Eck auf dem Einheitskreis.

Was können anschließende Themen sein?

Komplexe Zahlen erklären damit regelmäßige Drehmuster und die Lösungen vieler Polynomgleichungen. Später kann daraus der Fundamentalsatz der Algebra entwickelt werden.