Einstieg in das Thema
Was brauchst du als Basiswissen?
Du kennst die Multiplikationsregel für Betrag und Winkel.
Worum geht es?
Bei einer Potenz wird derselbe komplexe Faktor mehrfach multipliziert. Der Betrag wird potenziert und der Winkel wird vervielfacht. Dadurch entstehen regelmäßige Drehmuster.
Was ist das Ziel?
Du berechnest Potenzen in Polarform und deutest die Ergebnisse als Streckungen und Drehungen.
Erarbeitung
Theorie
Aufgaben
Aufgabe 1
Berechne [2(cos 30° + i sin 30°)]³ in Polar- und Normalform.
Aufgabe 2
Bestimme (cos 45° + i sin 45°)⁴ und deute das Ergebnis als Drehung.
Aufgabe 3
Berechne (-1+i)⁴ mithilfe der Polarform.
Aufgabe 4
Erkläre, warum alle Potenzen einer Zahl auf dem Einheitskreis ebenfalls auf dem Einheitskreis liegen.
Aufgabe 5
Untersuche die ersten zwölf Potenzen von cos 30° + i sin 30° und beschreibe das Muster.
Aufgabe 6
Finde eine Zahl z mit Betrag 1, deren sechste Potenz 1 ist.
Aufgabe 7
Vergleiche die Entwicklung der Potenzen bei r kleiner als 1, r = 1 und r größer als 1.
Zusammenfassung
Was muss man wissen/können?
Für z = r(cos φ+i sin φ) gilt z^n = r^n(cos(nφ)+i sin(nφ)). Der Betrag wird potenziert, der Winkel mit dem Exponenten multipliziert.
Was können anschließende Themen sein?
Beim Wurzelziehen wird die Potenzregel rückwärts verwendet. Dabei entstehen mehrere gleichmäßig verteilte Lösungen.