Einstieg in das Thema
Was brauchst du als Basiswissen?
Du benötigst die vier vorherigen Arbeitsblätter und die Rechenregeln aus dem Grundlagenkurs.
Worum geht es?
Du übst typische Prüfungsaufgaben zu Polarform, Drehstreckungen, Potenzen und komplexen Wurzeln.
Was ist das Ziel?
Du trennst Betrag und Winkel und entscheidest sicher, ob Winkel addiert, subtrahiert, vervielfacht oder geteilt werden müssen.
Erarbeitung
Gelöste Beispiele der Stufe 1
- Beispiel: Gib 5(cos 180°+i sin 180°) in Normalform an.
Lösung: cos 180° = -1 und sin 180° = 0. Daher ist die Zahl -5+0i = -5.
- Beispiel: Welchen Winkelabstand besitzen die achten Einheitswurzeln?
Lösung: Eine volle Umdrehung wird in acht gleiche Teile geteilt. Der Abstand beträgt 360°/8 = 45°.
Übungsaufgaben der Stufe 1
Gelöste Beispiele der Stufe 2
- Beispiel: Multipliziere eine Zahl mit Betrag 4 und Winkel 25° mit einer Zahl mit Betrag 0,5 und Winkel -70°.
Lösung: Die Beträge werden multipliziert: 4·0,5 = 2. Die Winkel werden addiert: 25°+(-70°) = -45°. Das Produkt besitzt Betrag 2 und Winkel -45° beziehungsweise 315°.
- Beispiel: Bestimme alle Lösungen von z⁴ = 16.
Lösung: Der Betrag jeder Lösung ist die vierte Wurzel aus 16, also 2. Die Winkel sind (0°+360°k)/4 für k=0,1,2,3. Damit ergeben sich 0°, 90°, 180° und 270°.
Übungsaufgaben der Stufe 2
Zusammenfassung
Was muss man wissen/können?
Für die Polarform brauchst du Betrag und richtigen Quadranten. Bei Produkten werden Winkel addiert, bei Quotienten subtrahiert. Bei Potenzen wird der Winkel vervielfacht, bei Wurzeln werden zusätzliche volle Umdrehungen einbezogen und anschließend geteilt.
Was können anschließende Themen sein?
Die Verfahren führen zu Polynomgleichungen und zum späteren Fundamentalsatz der Algebra.