Einstieg in das Thema
Was brauchst du als Basiswissen?
Du kannst komplexe Zahlen multiplizieren und ihren Betrag bestimmen.
Worum geht es?
Die konjugierte Zahl entsteht durch Spiegelung an der reellen Achse. Ihr Produkt mit der ursprünglichen Zahl ist reell. Genau das ermöglicht die Division komplexer Zahlen.
Was ist das Ziel?
Du bildest konjugierte Zahlen, erklärst ihre geometrische Lage und schreibst Quotienten in der Normalform a + bi.
Erarbeitung
Theorie
Aufgaben
Aufgabe 1
Gib die konjugierten Zahlen zu 3 + 4i, -2 - 7i, 5i und 6 an.
Aufgabe 2
Zeichne z = -3 + 2i und z̄ in die Zahlenebene und beschreibe die Spiegelung.
Aufgabe 3
Berechne (5 + 2i)(5 - 2i) und erkläre, warum das Ergebnis reell ist.
Aufgabe 4
Schreibe 1/(2+i) durch Erweitern mit der konjugierten Zahl in der Normalform.
Aufgabe 5
Berechne (3+4i)/(1-2i) und prüfe durch Rückmultiplikation.
Aufgabe 6
In einer Rechnung wird ein Bruch nur im Nenner mit 2-i multipliziert. Erkläre den Fehler und formuliere die korrekte Erweiterung.
Aufgabe 7
Vereinfache z/z̄ für z = 3 + 4i und bestimme den Betrag des Ergebnisses.
Zusammenfassung
Was muss man wissen/können?
Zu z = a+bi gehört z̄ = a-bi. Es gilt z·z̄ = a²+b². Bei einer Division wird Zähler und Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners multipliziert. Der Nenner wird dadurch reell.
Was können anschließende Themen sein?
In der Vertiefung werden komplexe Zahlen durch Betrag und Winkel beschrieben. Dadurch werden Multiplikation, Potenzen und Wurzeln geometrisch verständlich.