01 Betrag, Winkel und Polarform

Einstieg in das Thema

Was brauchst du als Basiswissen?

Du kennst komplexe Zahlen, die Gaußsche Zahlenebene, den Betrag sowie Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck.

Worum geht es?

Ein Punkt kann durch seine beiden Koordinaten oder durch Abstand und Richtung beschrieben werden. Für komplexe Zahlen heißen diese Angaben Betrag und Argument.

Was ist das Ziel?

Du wechselst zwischen der Normalform a + bi und der Polarform und achtest bei der Winkelbestimmung auf den richtigen Quadranten.

Erarbeitung

Theorie

Aufgaben

Aufgabe 1
Bestimme Betrag und Winkel von 3 + 4i zunächst zeichnerisch und kontrolliere im Applet.
Aufgabe 2
Wandle 2(cos 60° + i sin 60°) in die Normalform um.
Aufgabe 3
Wandle -4 + 4i in die Polarform um. Begründe den gewählten Quadranten.
Aufgabe 4
Finde zu r = 5 und φ = 180° sowie zu r = 3 und φ = 270° die Normalform.
Aufgabe 5
Erkläre, warum 30°, 390° und -330° dieselbe Richtung angeben.
Aufgabe 6
Untersuche im Applet, welche Punkte denselben Betrag und welche Punkte dasselbe Argument besitzen.
Aufgabe 7
Erkläre, weshalb die Zahl 0 kein eindeutiges Argument besitzt.

Zusammenfassung

Was muss man wissen/können?

In der Polarform wird z durch Betrag r und Winkel φ beschrieben: z = r(cos φ + i sin φ). Dabei gelten a = r cos φ und b = r sin φ. Bei der Winkelbestimmung muss der Quadrant beachtet werden.

Was können anschließende Themen sein?

Die Polarform macht die Multiplikation besonders anschaulich: Beträge werden multipliziert und Winkel addiert.