Einstieg in das Thema
Was brauchst du als Basiswissen?
Du solltest Quadrate, Wurzeln und einfache Gleichungen kennen.
Worum geht es?
Die Gleichung x² = -1 besitzt keine reelle Lösung. Statt die Suche abzubrechen, erweitern wir den bekannten Zahlenbereich um eine neue Zahl.
Was ist das Ziel?
Du erklärst, warum die Zahl i eingeführt wird, und berechnest einfache Potenzen und Vielfache von i.
Erarbeitung
Theorie
Aufgaben
Aufgabe 1
Begründe, warum x² = -1 keine reelle Lösung besitzt.
Aufgabe 2
Berechne i², i³, i⁴, i⁵ und i⁶ und beschreibe das entstehende Muster.
Aufgabe 3
Vereinfache i¹⁰, i¹⁷, i²⁴ und i³¹ mithilfe des Viererrhythmus.
Aufgabe 4
Berechne (3i)², (-2i)² und 5i · 4i.
Aufgabe 5
Löse x² = -9 und x² = -36 im erweiterten Zahlenbereich.
Aufgabe 6
Erkläre, warum x² = -25 zwei Lösungen besitzt.
Aufgabe 7
Ordne 7, -3i, 0, 2,5i und -4 den reellen oder rein imaginären Zahlen zu. Beachte, dass 0 zu beiden Formen passt.
Zusammenfassung
Was muss man wissen/können?
Die imaginäre Einheit i ist durch i² = -1 festgelegt. Ihre Potenzen wiederholen sich nach vier Schritten. Gleichungen wie x² = -9 besitzen nun die Lösungen x = 3i und x = -3i.
Was können anschließende Themen sein?
Reelle und imaginäre Anteile lassen sich verbinden. Dadurch entstehen die komplexen Zahlen.